Viva la numeración

Para empezar, creo que voy a pasar de este sistema de numerar las entradas. Parecía buena idea, pero ya lo veo bastante absurdo. Es lo que tiene tener muchas cosas en la cabeza, muchas no salen en el orden que deberían. Y no es plan de tener alguna restricción más a la hora de escribir.

Y ahora a lo que iba, después de estar en Lan Party el Condado el fin de semana pasado (una pequeña gran Lan Party por cierto) surgió una prueba de la Gymkhana Friki que consistía en realizar un cuestionario con 10 preguntas de tipo test con 4 posibles respuestas. Logré acertar todas las preguntas y eso levantó cuestiones bastante evidentes. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona contestando al azar tenga bien todas las preguntas? ¿Y que solo conteste n preguntas? ¿Cuántas preguntas debería contestar correctamente?

Para contestar estas preguntas vamos a tirar de nuestra amiga la Estadística (solo es Cruel y Desusada cuando la estás cursando)

Lo primero es dar unas definiciones básicas.

Suceso aleatorio: Es un suceso del que no podemos predecir a priori su resultado. Por ejemplo, si contestamos a una pregunta de nuestro test aleatoriamente no sabremos si está bien o está mal.

Probabilidad: También llamada P para abreviar, es un método que nos indica la frecuencia de un suceso sobre todos los sucesos posibles. La forma más básica de calcularla es mediante la regla de Laplace (casos favorables / casos posibles) En nuestro ejemplo:
P(acertar una pregunta contestando al azar) = 1/4 = 0,25
P(fallar una pregunta contestada al azar) = 3/4 = 0,75

Variable aleatoria: Es una variable cuyo valor se determina midiendo los eventos. En este caso tendríamos una variable aleatoria x que mediría el número de preguntas contestadas correctamente de las 10 preguntas realizadas.

Vamos que ya queda poco...

Prueba de Bernoulli: Es un experimento aleatorio que solo puede tener dos resultados posibles: Sale bien o sale mal. En este caso P(contestar bien) = 0,25 como ya habíamos visto antes

Distribución binomial: Es un modelo de distribución discreto (solo toma valores enteros) que se produce al ejecutar n pruebas de Bernoulli. Permite calcular la probabilidad de que se produzca un número determinado de éxitos. En este caso nuestra variable aleatoria x sigue una distribución binomial de 10 pruebas con una probabilidad de éxito de 0,25 o abreviando B (10 , 0,25)

Hechas las presentaciones y definiciones vamos a hacer las cuentas usando un poco el sentido común.

- ¿Cuántas preguntas correctas esperamos que conteste bien una persona contestando al azar?
Sin comerlo ni beberlo nos hemos cruzado con otro concepto, la esperanza de una variable aleatoria. Este valor representa el valor que esperamos que tome nuestra variable aleatoria (ya que es el que tiene mayor probabilidad) En este caso tenemos 10 preguntas y la probabilidad de contestar bien es 0,25. El sentido común nos dice que si multiplicamos esos dos valores obtendremos el número de aciertos esperado. Así pues 10 * 0,25 = 2,5. Al ser una variable que solo admite valores enteros podemos asumir que una persona debería contestar 2 ó 3 preguntas bien al azar.

- ¿Cuál es la probabilidad de que una persona tenga todas las respuestas bien contestando al azar?
Aquí sabemos que habría que contestar bien a cada una de las diez preguntas. La probabilidad de contestar bien una pregunta no depende de haber contestado bien las preguntas anteriores (son sucesos independientes) por lo que la probabilidad de este suceso se halla multiplicando 0,25 diez veces = (0.25)^10 = 0,00000095367431640625. La mejor idea para entendernos sería hallar la inversa de esa probabilidad, así sabremos que la probabilidad es de 1 sobre el número que salga. Así pues la probabilidad de tener todas las preguntas contestando al azar es de 1 entre 1048576.

- ¿Cuál es la probabilidad de contestar bien exactamente n preguntas?
El sentido común nos dice que contestaríamos bien n y mal 10-n. Por lo tanto y por lo que hemos dicho antes la fórmula sería (0,25)^n * (0,25)^10-n. Pues no. Nos estamos dejando algo importante, no tenemos en cuenta cuántas veces se da un resultado. Por ejemplo, pongamos que queremos saber la probabilidad de acertar 1 pregunta. Tenemos 0,25 * 0,75^9 aplicando la fórmula anterior. Ahora bien, cuántas combinaciones de 1 pregunta se pueden realizar sobre 10 preguntas) Esto sería hallar el valor de 10 sobre 1 con la fórmula (10! / n! (10-n)!) = (10! / 1! 9!) = 10. Así pues la probabilidad sería 10 *  0,25 * 0,75^9 = 0.1877117157

Así podríamos calcular todas las probabilidades:
Contestar bien 0 preguntas: 0,75^10 = 0.05631351471 ó 1 entre 17.75
Contestar bien 1 pregunta:  (10! / 1! 9!) *  0,25^1 * 0,75^9 = 0.1877117157 ó 1 entre 5.32
Contestar bien 2 preguntas: (10! / 2! 8!) *  0,25^2 * 0,75^8 = 0.2815675735 ó 1 entre 3.55
Contestar bien 3 preguntas: (10! / 3! 7!) *  0,25^3 * 0,75^7 = 0.2502822876 ó 1 entre 3.99
Contestar bien 4 preguntas: (10! / 4! 6!) *  0,25^4 * 0,75^6 = 0.1459980011 ó 1 entre 6.84
Contestar bien 5 preguntas: (10! / 5! 5!) *  0,25^5 * 0,75^5 = 0.05839920044 ó 1 entre 17.12
Contestar bien 6 preguntas: (10! / 6! 4!) *  0,25^6 * 0,75^4 = 0.01622200012 ó 1 entre 61.64
Contestar bien 7 preguntas: (10! / 7! 3!) *  0,25^7 * 0,75^3 = 0.003089904785 ó 1 entre 323.72
Contestar bien 8 preguntas: (10! / 8! 2!) *  0,25^8 * 0,75^2 = 0.0003862380981 ó 1 entre 2589.13
Contestar bien 9 preguntas: (10! / 9! 1!) *  0,25^9 * 0,75^1 = 0.00002861022949 ó 1 entre 34952.81
Contestar bien 10 preguntas: 0,25^10 = 0,00000095367431640625 ó 1 entre 1048576